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吴国平,中考数学,遇到圆的切线时,通过直线与圆位置关系的学习

时间:2020-05-24 08:23来源:互联网 作者:小狐

吴国平,中考数学,遇到圆的切线时,通过直线与圆位置关系的学习(图1)

直线与圆的位置关系是初中数学一块比较综合的重点知识内容,中考数学对其学习要求并不是很高,无论是初中还是高中,直线与圆的位置关系的有关概念、性质和判断等都在理解时都不是十分的困难。

不过,我们在学习过程中要深入的挖掘其中的数学思想,通过直线与圆位置关系的学习,帮助学生建立数学思维却并非是一件易事,其需要对直线与圆的位置关系更加深入的理解。

直线与圆的位置关系判定问题直线和圆的位置关系的判定方法:

一是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式来讨论位置关系。

二是几何的观点,即把圆心到直线的距离和半径的大小加以比较。

在中考数学里面,一般是借助圆心到直线的距离和半径的大小加以比较进行判断。

圆与直线的位置关系借助圆心到直线的距离与圆的半径的大小加以比较来确定,那么如何才能在中考数学当中,拿到此类题型的分数呢?

吴国平,中考数学,遇到圆的切线时,通过直线与圆位置关系的学习(图2)

直线与圆位置关系有关的中考试题分析,讲解1:

如图,PA为⊙O的切线,A为切点,过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E.

1求证:PB为⊙O的切线。

2若tan∠ABE=1/2,求sin∠E.

吴国平,中考数学,遇到圆的切线时,通过直线与圆位置关系的学习(图3)

吴国平,中考数学,遇到圆的切线时,通过直线与圆位置关系的学习(图4)

考点分析:

切线的性质;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义。

题干分析:

1要证PB是⊙O的切线,只要连接OA,再证∠PBO=90°即可。

2连接AD,证明△ADE∽△POE,得到EA/EP=AD/OP,设OC=t,则BC=2t,AD=2t,由△PBC∽△BOC,可求出sin∠E的值.

解题反思:

本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质;能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中,是解答此题的关键要证某线是圆的切线,对于切线的判定:已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径)再证垂直即可.

吴国平,中考数学,遇到圆的切线时,通过直线与圆位置关系的学习(图5)

直线与圆位置关系有关的中考试题分析,讲解2:

如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的切线,切点为C.延长AB交CD于点E.连接AC,作∠DAC=∠ACD,作AF⊥ED于点F,交⊙O于点G.

1求证:AD是⊙O的切线。

2如果⊙O的半径是6cm,EC=8cm,求GF的长.

吴国平,中考数学,遇到圆的切线时,通过直线与圆位置关系的学习(图6)

吴国平,中考数学,遇到圆的切线时,通过直线与圆位置关系的学习(图7)

考点分析:

切线的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质;证明题。

题干分析:

1连接OC.欲证AD是⊙O的切线,只需证明OA⊥AD即可。

2连接BG.在Rt△CEO中利用勾股定理求得OE=10,从而求得AE=13;由相似三角形Rt△AEF∽Rt△OEC的对应边成比例求得AF=9.6,再利用圆周角定理证得Rt△ABG∽Rt△AEF,根据相似三角形的对应边成比例求得AG=7.2,所以GF=AF﹣AG=9.6﹣7.2=2.4.

解题反思:

本题综合考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径)再证垂直即可.

吴国平,中考数学,遇到圆的切线时,通过直线与圆位置关系的学习(图8)

直线与圆位置关系有关的中考试题分析,讲解3:

如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D,锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C,作CD⊥AD,垂足为D,直线CD与AB的延长线交于点E.

1求证:AC平分∠DAB。

2过点O作线段AC的垂线OE,垂足为E要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法

3若CD=4,AC=4√5,求垂线段OE的长.

吴国平,中考数学,遇到圆的切线时,通过直线与圆位置关系的学习(图9)

吴国平,中考数学,遇到圆的切线时,通过直线与圆位置关系的学习(图10)

考点分析:

切线的性质;勾股定理;作图—复杂作图;相似三角形的判定与性质;综合题。

题干分析:

1连接OC,由CD为圆O的切线,根据切线性质得到OC与CD垂直,又AD与CD垂直,根据平面上垂直于同一条直线的两直线平行得到AD与OC平行,由平行得一对内错角相等,又因为两半径OA与OC相等,根据等边对等角,得到一对相等的角,利用等量代换,即可得到∠DAC=∠OAC,即AC为∠DAB的平分线。

2以O为圆心,以大于O到AC的距离为半径画弧,与AC交于两点,分别以这两点为圆心,以大于这两点之间距离的一半长为半径在AC的另一侧画弧,两弧交于一点,经过此点与点O确定一条直线,即为所求的直线,如图所示。

3在直角三角形ACD中,由CD和AC的长,利用勾股定理求出AD的长,再根据垂径定理,由OE与AC 垂直,得到E为AC中点,求出AE的长,由1推出的角平分线得一对角相等,再由一对直角相等,根据两对对应角相等的两三角形相似,由相似得比例即可求出OE的长.

解题反思:

此题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质及勾股定理.遇到圆的切线时,往往连接切点与圆心,运用切线性质将相切为垂直,来解决数学问题,同时要求学生作下一问时,要善于利用前面得出的结论.此题的第二问是尺规作图题,锻炼了学生的动手操作能力.

本文相关词条概念解析:

切线

几何上,切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准确的说,当切线经过曲线上的某点(即切点)时,切线的方向与曲线上该点的方向是相同的,此时,“切线在切点附近的部分”最接近“曲线在切点附近的部分”(无限逼近思想)。tangent在拉丁语中就是totouch的意思。类似的概念也可以推广到平面相切等概念中。

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